3010:. Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona. Elsholtz, C.; Freiman, G.; Hamidoune, Y. O.; Hegyvári, N.; Károlyi, G.; Nathanson, M.; Solymosi, J.; Stanchescu, Y. With a foreword by Javier Cilleruelo, Marc Noy and Oriol Serra (Coordinators of the DocCourse). Basel: Birkhäuser.
226:
752:
1898:
1286:
48:
2504:
1768:
967:
804:
1442:
2118:
1199:
1028:
2565:
1653:
1618:
1560:
1103:
436:
2278:
2173:
2027:
889:
629:
344:
2324:
2219:
551:
482:
275:
2394:
2432:
834:
1474:
1320:
574:
2344:
2047:
1514:
1494:
1340:
502:
375:
639:
17:
1795:
2907:
221:{\displaystyle S=\{a_{1}+\cdots +a_{n}:\ a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}\ \mathrm {and} \ P(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0\},}
1207:
3015:
1520:
2437:
1692:
900:
1662:
763:
1348:
2583:
2059:
3050:
1114:
972:
2574:
and M. Tarsi in 1989, and developed by Alon, Nathanson and Ruzsa in 1995–1996, and reformulated by Alon in 1999.
2509:
3118:
3113:
1623:
1588:
1530:
1073:
3103:
2713:
Dias da Silva, J. A.; Hamidoune, Y. O. (1994). "Cyclic spaces for
Grassmann derivatives and additive theory".
380:
3038:
2849:
2228:
2123:
1977:
839:
579:
294:
2715:
2283:
2178:
510:
441:
234:
2349:
2969:
2757:
2399:
1928:
1106:
809:
1789:. This was first confirmed by J. A. Dias da Silva and Y. O. Hamidoune in 1994 who showed that
3079:
2964:
35:
31:
1042:
2682:
2986:
2928:
2870:
2833:
2811:
2778:
1293:
3060:
3025:
1450:
8:
1299:
285:
2815:
2642:
1970:
of various restricted sumsets is the following fundamental principle: the combinatorial
556:
2990:
2932:
2874:
2621:
2329:
2032:
1499:
1479:
1325:
1289:
487:
360:
3076:
3046:
3011:
2936:
2878:
3108:
3056:
3021:
2994:
2974:
2916:
2858:
2819:
2802:
2766:
2724:
1065:
1046:
2899:
2749:
1655:
can be written as the sum of the elements of some subsequence (possibly empty) of
3042:
2982:
2924:
2866:
2829:
2774:
1971:
747:{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),}
2620:
Jeffrey Paul
Wheeler (2012). "The Cauchy-Davenport Theorem for Finite Groups".
1686:
2920:
1292:. It can be generalised to arbitrary (not necessarily abelian) groups using a
3097:
2955:
1967:
1951:
1666:
2728:
1682:
1577:
A direct consequence of the Cauchy-Davenport theorem is: Given any sequence
2770:
2222:
1068:
1050:
2793:
2744:
2050:
1955:
2847:
Károlyi, Gyula (2004). "The Erdős–Heilbronn problem in abelian groups".
1946:
is of characteristic 0. Various extensions of this result were given by
2978:
2862:
347:
2824:
2797:
3084:
2950:
2895:
2745:
2571:
1947:
278:
3035:
Additive Number Theory: Inverse
Problems and the Geometry of Sumsets
2953:; Tarsi, Michael (1989). "A nowhere-zero point in linear mappings".
2712:
3074:
2054:
2626:
2750:"The polynomial method and restricted sums of congruence classes"
1893:{\displaystyle |n^{\wedge }A|\geq \min\{p(F),\ n|A|-n^{2}+1\},}
505:
281:
27:
Sumset of a field subject to a specific polynomial restriction
1585:−1 or more nonzero elements, not necessarily distinct, of
2683:
http://mathworld.wolfram.com/Cauchy-DavenportTheorem.html
1281:{\displaystyle A+B:=\{a+b{\pmod {p}}\mid a\in A,b\in B\}}
2949:
2791:
3008:
Combinatorial number theory and additive group theory
2643:"On a Generalization of the Cauchy-Davenport Theorem"
2512:
2499:{\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}}
2440:
2402:
2352:
2332:
2286:
2231:
2181:
2126:
2062:
2035:
1980:
1798:
1763:{\displaystyle |2^{\wedge }A|\geq \min\{p,\,2|A|-3\}}
1695:
1626:
1591:
1533:
1502:
1482:
1453:
1351:
1328:
1302:
1210:
1117:
1076:
975:
962:{\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}}
903:
842:
812:
766:
642:
582:
559:
513:
490:
444:
383:
363:
297:
237:
51:
2619:
1476:is the size of the smallest nontrivial subgroup of
799:{\displaystyle A_{1}\dotplus \cdots \dotplus A_{n}}
3006:Geroldinger, Alfred; Ruzsa, Imre Z., eds. (2009).
2559:
2498:
2426:
2388:
2338:
2318:
2272:
2213:
2167:
2112:
2041:
2021:
1892:
1762:
1647:
1612:
1554:
1508:
1488:
1468:
1437:{\displaystyle |A+B|\geq \min\{p(G),\,|A|+|B|-1\}}
1436:
1334:
1314:
1280:
1193:
1097:
1022:
961:
883:
828:
798:
746:
623:
568:
545:
496:
476:
430:
369:
338:
269:
220:
2113:{\displaystyle x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}
1966:A powerful tool in the study of lower bounds for
3095:
3005:
1961:
1825:
1722:
1374:
1140:
2681:Wolfram's MathWorld, Cauchy-Davenport Theorem,
1194:{\displaystyle |A+B|\geq \min\{p,\,|A|+|B|-1\}}
2846:
1023:{\displaystyle P(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0.}
2560:{\displaystyle f(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0}
1672:
377:is a constant non-zero function, for example
2748:; Nathanson, Melvyn B.; Ruzsa, Imre (1996).
1884:
1828:
1757:
1725:
1431:
1377:
1275:
1223:
1188:
1143:
212:
58:
2890:
2888:
2740:
2738:
2716:Bulletin of the London Mathematical Society
1032:
2894:
1648:{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
1613:{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
1555:{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
1098:{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
3032:
2968:
2823:
2625:
2610:Geroldinger & Ruzsa (2009) pp.141–142
1734:
1641:
1628:
1606:
1593:
1548:
1535:
1395:
1152:
1091:
1078:
2908:Combinatorics, Probability and Computing
2885:
2735:
431:{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=1}
1907:is a finite nonempty subset of a field
14:
3096:
2273:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
2168:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
2022:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
884:{\displaystyle A_{1}=\cdots =A_{n}=A.}
624:{\displaystyle A_{1}=\cdots =A_{n}=A.}
339:{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})}
3075:
2640:
2604:
2694:Geroldinger & Ruzsa (2009) p.143
2688:
897:| > 0 if and only if there exist
2672:Geroldinger & Ruzsa (2009) p.53
2666:
2570:This tool was rooted in a paper of
2319:{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
2214:{\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}
1243:
546:{\displaystyle A_{1}+\cdots +A_{n}}
477:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
270:{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
24:
2584:Polynomial method in combinatorics
1778:is a nonempty subset of the field
161:
158:
155:
25:
3130:
3068:
1958:in 2002, and G. Karolyi in 2004.
1566:elements that sum to zero modulo
2389:{\displaystyle |A_{i}|>k_{i}}
1527:−1 elements in the cyclic group
2943:
2900:"Combinatorial Nullstellensatz"
2840:
2785:
2706:
1516:if there is no such subgroup).
1236:
2697:
2675:
2657:
2634:
2613:
2595:
2548:
2516:
2369:
2354:
2267:
2235:
2162:
2130:
2016:
1984:
1861:
1853:
1840:
1834:
1818:
1800:
1747:
1739:
1715:
1697:
1519:We may use this to deduce the
1463:
1457:
1421:
1413:
1405:
1397:
1389:
1383:
1367:
1353:
1247:
1237:
1178:
1170:
1162:
1154:
1133:
1119:
1011:
979:
738:
712:
678:
646:
419:
387:
333:
301:
203:
171:
13:
1:
3039:Graduate Texts in Mathematics
3033:Nathanson, Melvyn B. (1996).
2850:Israel Journal of Mathematics
2589:
2427:{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
2029:be a polynomial over a field
1962:Combinatorial Nullstellensatz
18:Combinatorial Nullstellensatz
3080:"Erdős-Heilbronn Conjecture"
2798:"Restricted sums in a field"
1665:generalises this to general
1574:does not need to be prime.)
829:{\displaystyle n^{\wedge }A}
7:
2577:
10:
3135:
1679:Erdős–Heilbronn conjecture
1673:Erdős–Heilbronn conjecture
1521:Erdős–Ginzburg–Ziv theorem
2921:10.1017/S0963548398003411
1523:: given any sequence of 2
2758:Journal of Number Theory
2685:, accessed 20 June 2012.
1039:Cauchy–Davenport theorem
1033:Cauchy–Davenport theorem
1954:in 1996, Q. H. Hou and
1322:are subsets of a group
1049:, asserts that for any
3119:Additive number theory
3114:Additive combinatorics
2771:10.1006/jnth.1996.0029
2561:
2500:
2428:
2390:
2340:
2326:are finite subsets of
2320:
2274:
2215:
2169:
2114:
2043:
2023:
1950:, M. B. Nathanson and
1894:
1764:
1649:
1614:
1556:
1510:
1490:
1470:
1438:
1336:
1316:
1282:
1195:
1099:
1024:
963:
885:
830:
800:
748:
625:
570:
547:
498:
478:
432:
371:
340:
271:
222:
32:additive number theory
3104:Augustin-Louis Cauchy
2729:10.1112/blms/26.2.140
2703:Nathanson (1996) p.77
2663:Nathanson (1996) p.48
2601:Nathanson (1996) p.44
2562:
2501:
2429:
2391:
2341:
2321:
2275:
2216:
2170:
2115:
2044:
2024:
1895:
1765:
1650:
1615:
1557:
1511:
1491:
1471:
1439:
1337:
1317:
1283:
1196:
1100:
1056:and nonempty subsets
1043:Augustin Louis Cauchy
1025:
964:
886:
831:
801:
749:
626:
571:
548:
499:
479:
433:
372:
341:
272:
223:
2641:DeVos, Matt (2016).
2510:
2438:
2400:
2350:
2330:
2284:
2229:
2179:
2124:
2060:
2049:. Suppose that the
2033:
1978:
1796:
1693:
1689:in 1964 states that
1624:
1589:
1531:
1500:
1480:
1469:{\displaystyle p(G)}
1451:
1349:
1326:
1300:
1208:
1115:
1074:
973:
901:
840:
810:
806:which is denoted by
764:
640:
580:
557:
553:which is denoted by
511:
488:
442:
381:
361:
295:
235:
49:
2816:2002AcAri.102..239H
2109:
2084:
1620:, every element of
1315:{\displaystyle A,B}
1288:, i.e. we're using
3077:Weisstein, Eric W.
2979:10.1007/BF02125351
2863:10.1007/BF02787556
2557:
2496:
2424:
2386:
2336:
2316:
2270:
2211:
2165:
2110:
2088:
2063:
2039:
2019:
1890:
1760:
1645:
1610:
1552:
1506:
1486:
1466:
1434:
1332:
1312:
1290:modular arithmetic
1278:
1191:
1095:
1020:
959:
881:
826:
796:
744:
711:
621:
569:{\displaystyle nA}
566:
543:
494:
474:
428:
367:
336:
267:
218:
3041:. Vol. 165.
3017:978-3-7643-8961-1
2825:10.4064/aa102-3-3
2434:, then there are
2339:{\displaystyle F}
2042:{\displaystyle F}
1848:
1509:{\displaystyle 1}
1489:{\displaystyle G}
1335:{\displaystyle G}
684:
497:{\displaystyle S}
370:{\displaystyle P}
167:
153:
95:
40:restricted sumset
16:(Redirected from
3126:
3090:
3089:
3064:
3029:
2999:
2998:
2972:
2947:
2941:
2940:
2904:
2892:
2883:
2882:
2844:
2838:
2837:
2827:
2803:Acta Arithmetica
2789:
2783:
2782:
2754:
2742:
2733:
2732:
2710:
2704:
2701:
2695:
2692:
2686:
2679:
2673:
2670:
2664:
2661:
2655:
2654:
2638:
2632:
2631:
2629:
2617:
2611:
2608:
2602:
2599:
2566:
2564:
2563:
2558:
2547:
2546:
2528:
2527:
2505:
2503:
2502:
2497:
2495:
2494:
2482:
2481:
2463:
2462:
2450:
2449:
2433:
2431:
2430:
2425:
2395:
2393:
2392:
2387:
2385:
2384:
2372:
2367:
2366:
2357:
2345:
2343:
2342:
2337:
2325:
2323:
2322:
2317:
2315:
2314:
2296:
2295:
2279:
2277:
2276:
2271:
2266:
2265:
2247:
2246:
2220:
2218:
2217:
2212:
2210:
2209:
2191:
2190:
2174:
2172:
2171:
2166:
2161:
2160:
2142:
2141:
2119:
2117:
2116:
2111:
2108:
2107:
2106:
2096:
2083:
2082:
2081:
2071:
2048:
2046:
2045:
2040:
2028:
2026:
2025:
2020:
2015:
2014:
1996:
1995:
1899:
1897:
1896:
1891:
1877:
1876:
1864:
1856:
1846:
1821:
1813:
1812:
1803:
1769:
1767:
1766:
1761:
1750:
1742:
1718:
1710:
1709:
1700:
1663:Kneser's theorem
1654:
1652:
1651:
1646:
1644:
1636:
1631:
1619:
1617:
1616:
1611:
1609:
1601:
1596:
1561:
1559:
1558:
1553:
1551:
1543:
1538:
1515:
1513:
1512:
1507:
1495:
1493:
1492:
1487:
1475:
1473:
1472:
1467:
1443:
1441:
1440:
1435:
1424:
1416:
1408:
1400:
1370:
1356:
1341:
1339:
1338:
1333:
1321:
1319:
1318:
1313:
1287:
1285:
1284:
1279:
1250:
1200:
1198:
1197:
1192:
1181:
1173:
1165:
1157:
1136:
1122:
1104:
1102:
1101:
1096:
1094:
1086:
1081:
1047:Harold Davenport
1029:
1027:
1026:
1021:
1010:
1009:
991:
990:
968:
966:
965:
960:
958:
957:
945:
944:
926:
925:
913:
912:
890:
888:
887:
882:
871:
870:
852:
851:
835:
833:
832:
827:
822:
821:
805:
803:
802:
797:
795:
794:
776:
775:
753:
751:
750:
745:
737:
736:
724:
723:
710:
677:
676:
658:
657:
630:
628:
627:
622:
611:
610:
592:
591:
575:
573:
572:
567:
552:
550:
549:
544:
542:
541:
523:
522:
503:
501:
500:
495:
483:
481:
480:
475:
473:
472:
454:
453:
437:
435:
434:
429:
418:
417:
399:
398:
376:
374:
373:
368:
345:
343:
342:
337:
332:
331:
313:
312:
276:
274:
273:
268:
266:
265:
247:
246:
227:
225:
224:
219:
202:
201:
183:
182:
165:
164:
151:
150:
149:
137:
136:
118:
117:
105:
104:
93:
89:
88:
70:
69:
21:
3134:
3133:
3129:
3128:
3127:
3125:
3124:
3123:
3094:
3093:
3071:
3053:
3043:Springer-Verlag
3018:
3002:
2970:10.1.1.163.2348
2948:
2944:
2902:
2893:
2886:
2845:
2841:
2790:
2786:
2752:
2743:
2736:
2711:
2707:
2702:
2698:
2693:
2689:
2680:
2676:
2671:
2667:
2662:
2658:
2639:
2635:
2618:
2614:
2609:
2605:
2600:
2596:
2592:
2580:
2542:
2538:
2523:
2519:
2511:
2508:
2507:
2490:
2486:
2477:
2473:
2458:
2454:
2445:
2441:
2439:
2436:
2435:
2401:
2398:
2397:
2380:
2376:
2368:
2362:
2358:
2353:
2351:
2348:
2347:
2331:
2328:
2327:
2310:
2306:
2291:
2287:
2285:
2282:
2281:
2261:
2257:
2242:
2238:
2230:
2227:
2226:
2205:
2201:
2186:
2182:
2180:
2177:
2176:
2175:is nonzero and
2156:
2152:
2137:
2133:
2125:
2122:
2121:
2102:
2098:
2097:
2092:
2077:
2073:
2072:
2067:
2061:
2058:
2057:
2034:
2031:
2030:
2010:
2006:
1991:
1987:
1979:
1976:
1975:
1972:Nullstellensatz
1964:
1872:
1868:
1860:
1852:
1817:
1808:
1804:
1799:
1797:
1794:
1793:
1774:is a prime and
1746:
1738:
1714:
1705:
1701:
1696:
1694:
1691:
1690:
1675:
1640:
1632:
1627:
1625:
1622:
1621:
1605:
1597:
1592:
1590:
1587:
1586:
1547:
1539:
1534:
1532:
1529:
1528:
1501:
1498:
1497:
1481:
1478:
1477:
1452:
1449:
1448:
1420:
1412:
1404:
1396:
1366:
1352:
1350:
1347:
1346:
1327:
1324:
1323:
1301:
1298:
1297:
1294:Dyson transform
1235:
1209:
1206:
1205:
1177:
1169:
1161:
1153:
1132:
1118:
1116:
1113:
1112:
1090:
1082:
1077:
1075:
1072:
1071:
1035:
1005:
1001:
986:
982:
974:
971:
970:
953:
949:
940:
936:
921:
917:
908:
904:
902:
899:
898:
866:
862:
847:
843:
841:
838:
837:
817:
813:
811:
808:
807:
790:
786:
771:
767:
765:
762:
761:
732:
728:
719:
715:
688:
672:
668:
653:
649:
641:
638:
637:
606:
602:
587:
583:
581:
578:
577:
558:
555:
554:
537:
533:
518:
514:
512:
509:
508:
489:
486:
485:
468:
464:
449:
445:
443:
440:
439:
413:
409:
394:
390:
382:
379:
378:
362:
359:
358:
327:
323:
308:
304:
296:
293:
292:
261:
257:
242:
238:
236:
233:
232:
197:
193:
178:
174:
154:
145:
141:
132:
128:
113:
109:
100:
96:
84:
80:
65:
61:
50:
47:
46:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
3132:
3122:
3121:
3116:
3111:
3106:
3092:
3091:
3070:
3069:External links
3067:
3066:
3065:
3051:
3030:
3016:
3001:
3000:
2963:(4): 393–395.
2942:
2884:
2839:
2810:(3): 239–249.
2792:Hou, Qing-Hu;
2784:
2765:(2): 404–417.
2734:
2723:(2): 140–146.
2705:
2696:
2687:
2674:
2665:
2656:
2633:
2612:
2603:
2593:
2591:
2588:
2587:
2586:
2579:
2576:
2556:
2553:
2550:
2545:
2541:
2537:
2534:
2531:
2526:
2522:
2518:
2515:
2493:
2489:
2485:
2480:
2476:
2472:
2469:
2466:
2461:
2457:
2453:
2448:
2444:
2423:
2420:
2417:
2414:
2411:
2408:
2405:
2383:
2379:
2375:
2371:
2365:
2361:
2356:
2335:
2313:
2309:
2305:
2302:
2299:
2294:
2290:
2269:
2264:
2260:
2256:
2253:
2250:
2245:
2241:
2237:
2234:
2208:
2204:
2200:
2197:
2194:
2189:
2185:
2164:
2159:
2155:
2151:
2148:
2145:
2140:
2136:
2132:
2129:
2105:
2101:
2095:
2091:
2087:
2080:
2076:
2070:
2066:
2038:
2018:
2013:
2009:
2005:
2002:
1999:
1994:
1990:
1986:
1983:
1963:
1960:
1929:characteristic
1901:
1900:
1889:
1886:
1883:
1880:
1875:
1871:
1867:
1863:
1859:
1855:
1851:
1845:
1842:
1839:
1836:
1833:
1830:
1827:
1824:
1820:
1816:
1811:
1807:
1802:
1759:
1756:
1753:
1749:
1745:
1741:
1737:
1733:
1730:
1727:
1724:
1721:
1717:
1713:
1708:
1704:
1699:
1687:Hans Heilbronn
1674:
1671:
1667:abelian groups
1643:
1639:
1635:
1630:
1608:
1604:
1600:
1595:
1550:
1546:
1542:
1537:
1505:
1496:(we set it to
1485:
1465:
1462:
1459:
1456:
1445:
1444:
1433:
1430:
1427:
1423:
1419:
1415:
1411:
1407:
1403:
1399:
1394:
1391:
1388:
1385:
1382:
1379:
1376:
1373:
1369:
1365:
1362:
1359:
1355:
1331:
1311:
1308:
1305:
1277:
1274:
1271:
1268:
1265:
1262:
1259:
1256:
1253:
1249:
1246:
1242:
1239:
1234:
1231:
1228:
1225:
1222:
1219:
1216:
1213:
1202:
1201:
1190:
1187:
1184:
1180:
1176:
1172:
1168:
1164:
1160:
1156:
1151:
1148:
1145:
1142:
1139:
1135:
1131:
1128:
1125:
1121:
1093:
1089:
1085:
1080:
1041:, named after
1034:
1031:
1019:
1016:
1013:
1008:
1004:
1000:
997:
994:
989:
985:
981:
978:
956:
952:
948:
943:
939:
935:
932:
929:
924:
920:
916:
911:
907:
880:
877:
874:
869:
865:
861:
858:
855:
850:
846:
825:
820:
816:
793:
789:
785:
782:
779:
774:
770:
760:is written as
755:
754:
743:
740:
735:
731:
727:
722:
718:
714:
709:
706:
703:
700:
697:
694:
691:
687:
683:
680:
675:
671:
667:
664:
661:
656:
652:
648:
645:
620:
617:
614:
609:
605:
601:
598:
595:
590:
586:
565:
562:
540:
536:
532:
529:
526:
521:
517:
493:
471:
467:
463:
460:
457:
452:
448:
427:
424:
421:
416:
412:
408:
405:
402:
397:
393:
389:
386:
366:
335:
330:
326:
322:
319:
316:
311:
307:
303:
300:
264:
260:
256:
253:
250:
245:
241:
229:
228:
217:
214:
211:
208:
205:
200:
196:
192:
189:
186:
181:
177:
173:
170:
163:
160:
157:
148:
144:
140:
135:
131:
127:
124:
121:
116:
112:
108:
103:
99:
92:
87:
83:
79:
76:
73:
68:
64:
60:
57:
54:
42:has the form
26:
9:
6:
4:
3:
2:
3131:
3120:
3117:
3115:
3112:
3110:
3107:
3105:
3102:
3101:
3099:
3087:
3086:
3081:
3078:
3073:
3072:
3062:
3058:
3054:
3052:0-387-94655-1
3048:
3044:
3040:
3036:
3031:
3027:
3023:
3019:
3013:
3009:
3004:
3003:
2996:
2992:
2988:
2984:
2980:
2976:
2971:
2966:
2962:
2958:
2957:
2956:Combinatorica
2952:
2946:
2938:
2934:
2930:
2926:
2922:
2918:
2915:(1–2): 7–29.
2914:
2910:
2909:
2901:
2897:
2891:
2889:
2880:
2876:
2872:
2868:
2864:
2860:
2856:
2852:
2851:
2843:
2835:
2831:
2826:
2821:
2817:
2813:
2809:
2805:
2804:
2799:
2795:
2788:
2780:
2776:
2772:
2768:
2764:
2760:
2759:
2751:
2747:
2741:
2739:
2730:
2726:
2722:
2718:
2717:
2709:
2700:
2691:
2684:
2678:
2669:
2660:
2652:
2648:
2644:
2637:
2628:
2623:
2616:
2607:
2598:
2594:
2585:
2582:
2581:
2575:
2573:
2568:
2554:
2551:
2543:
2539:
2535:
2532:
2529:
2524:
2520:
2513:
2491:
2487:
2483:
2478:
2474:
2470:
2467:
2464:
2459:
2455:
2451:
2446:
2442:
2421:
2418:
2415:
2412:
2409:
2406:
2403:
2381:
2377:
2373:
2363:
2359:
2333:
2311:
2307:
2303:
2300:
2297:
2292:
2288:
2262:
2258:
2254:
2251:
2248:
2243:
2239:
2232:
2224:
2206:
2202:
2198:
2195:
2192:
2187:
2183:
2157:
2153:
2149:
2146:
2143:
2138:
2134:
2127:
2103:
2099:
2093:
2089:
2085:
2078:
2074:
2068:
2064:
2056:
2052:
2036:
2011:
2007:
2003:
2000:
1997:
1992:
1988:
1981:
1973:
1969:
1968:cardinalities
1959:
1957:
1953:
1949:
1945:
1941:
1937:
1933:
1930:
1926:
1922:
1919:) is a prime
1918:
1914:
1910:
1906:
1887:
1881:
1878:
1873:
1869:
1865:
1857:
1849:
1843:
1837:
1831:
1822:
1814:
1809:
1805:
1792:
1791:
1790:
1788:
1785:
1781:
1777:
1773:
1754:
1751:
1743:
1735:
1731:
1728:
1719:
1711:
1706:
1702:
1688:
1684:
1680:
1670:
1668:
1664:
1660:
1658:
1637:
1633:
1602:
1598:
1584:
1580:
1575:
1573:
1569:
1565:
1544:
1540:
1526:
1522:
1517:
1503:
1483:
1460:
1454:
1428:
1425:
1417:
1409:
1401:
1392:
1386:
1380:
1371:
1363:
1360:
1357:
1345:
1344:
1343:
1329:
1309:
1306:
1303:
1295:
1291:
1272:
1269:
1266:
1263:
1260:
1257:
1254:
1251:
1244:
1240:
1232:
1229:
1226:
1220:
1217:
1214:
1211:
1185:
1182:
1174:
1166:
1158:
1149:
1146:
1137:
1129:
1126:
1123:
1111:
1110:
1109:
1108:
1087:
1083:
1070:
1067:
1064:of the prime
1063:
1059:
1055:
1052:
1048:
1044:
1040:
1030:
1017:
1014:
1006:
1002:
998:
995:
992:
987:
983:
976:
954:
950:
946:
941:
937:
933:
930:
927:
922:
918:
914:
909:
905:
896:
891:
878:
875:
872:
867:
863:
859:
856:
853:
848:
844:
823:
818:
814:
791:
787:
783:
780:
777:
772:
768:
759:
741:
733:
729:
725:
720:
716:
707:
704:
701:
698:
695:
692:
689:
685:
681:
673:
669:
665:
662:
659:
654:
650:
643:
636:
635:
634:
631:
618:
615:
612:
607:
603:
599:
596:
593:
588:
584:
563:
560:
538:
534:
530:
527:
524:
519:
515:
507:
504:is the usual
491:
469:
465:
461:
458:
455:
450:
446:
425:
422:
414:
410:
406:
403:
400:
395:
391:
384:
364:
355:
353:
349:
328:
324:
320:
317:
314:
309:
305:
298:
290:
287:
283:
280:
262:
258:
254:
251:
248:
243:
239:
215:
209:
206:
198:
194:
190:
187:
184:
179:
175:
168:
146:
142:
138:
133:
129:
125:
122:
119:
114:
110:
106:
101:
97:
90:
85:
81:
77:
74:
71:
66:
62:
55:
52:
45:
44:
43:
41:
37:
36:combinatorics
33:
19:
3083:
3034:
3007:
2960:
2954:
2945:
2912:
2906:
2854:
2848:
2842:
2807:
2801:
2794:Sun, Zhi-Wei
2787:
2762:
2756:
2720:
2714:
2708:
2699:
2690:
2677:
2668:
2659:
2650:
2646:
2636:
2615:
2606:
2597:
2569:
2223:total degree
1965:
1943:
1939:
1935:
1931:
1924:
1920:
1916:
1912:
1908:
1904:
1902:
1786:
1783:
1779:
1775:
1771:
1678:
1676:
1661:
1656:
1582:
1578:
1576:
1571:
1567:
1563:
1562:, there are
1524:
1518:
1446:
1203:
1105:we have the
1069:cyclic group
1061:
1057:
1053:
1038:
1036:
894:
892:
757:
756:
632:
356:
351:
288:
230:
39:
29:
2857:: 349–359.
2051:coefficient
1956:Zhi-Wei Sun
893:Note that |
277:are finite
3098:Categories
3061:0859.11003
3026:1177.11005
2951:Alon, Noga
2896:Alon, Noga
2746:Alon, Noga
2590:References
2506:such that
1683:Paul Erdős
1107:inequality
348:polynomial
3085:MathWorld
2965:CiteSeerX
2937:209877602
2627:1202.1816
2533:…
2484:∈
2468:…
2452:∈
2416:…
2301:…
2252:…
2196:⋯
2147:…
2086:⋯
2001:…
1948:Noga Alon
1942:) = ∞ if
1866:−
1823:≥
1810:∧
1752:−
1720:≥
1707:∧
1681:posed by
1570:. (Here
1426:−
1372:≥
1270:∈
1258:∈
1252:∣
1183:−
1138:≥
996:…
947:∈
931:…
915:∈
857:⋯
819:∧
784:∔
781:⋯
778:∔
726:−
705:≤
693:≤
686:∏
663:…
597:⋯
528:⋯
459:…
404:…
318:…
252:…
188:…
139:∈
123:…
107:∈
75:⋯
2898:(1999).
2879:33387005
2796:(2002).
2647:Integers
2578:See also
2552:≠
2055:monomial
1952:I. Ruzsa
1015:≠
438:for any
279:nonempty
207:≠
3109:Sumsets
2995:8208350
2987:1054015
2929:1684621
2871:2041798
2834:1884717
2812:Bibcode
2779:1373563
2572:N. Alon
2221:is the
2053:of the
1342:, then
484:, then
282:subsets
3059:
3049:
3024:
3014:
2993:
2985:
2967:
2935:
2927:
2877:
2869:
2832:
2777:
1974:. Let
1934:, and
1927:is of
1911:, and
1903:where
1847:
1447:where
1204:where
633:When
506:sumset
231:where
166:
152:
94:
2991:S2CID
2933:S2CID
2903:(PDF)
2875:S2CID
2753:(PDF)
2622:arXiv
2346:with
2280:. If
1296:. If
1066:order
1051:prime
969:with
350:over
346:is a
286:field
284:of a
3047:ISBN
3012:ISBN
2396:for
2374:>
1685:and
1677:The
1060:and
1045:and
1037:The
699:<
291:and
38:, a
34:and
3057:Zbl
3022:Zbl
2975:doi
2917:doi
2859:doi
2855:139
2820:doi
2808:102
2767:doi
2725:doi
2225:of
2120:in
1923:if
1826:min
1770:if
1723:min
1581:of
1375:min
1241:mod
1141:min
836:if
576:if
357:If
354:.
30:In
3100::
3082:.
3055:.
3045:.
3037:.
3020:.
2989:.
2983:MR
2981:.
2973:.
2959:.
2931:.
2925:MR
2923:.
2911:.
2905:.
2887:^
2873:.
2867:MR
2865:.
2853:.
2830:MR
2828:.
2818:.
2806:.
2800:.
2775:MR
2773:.
2763:56
2761:.
2755:.
2737:^
2721:26
2719:.
2651:16
2649:.
2645:.
2567:.
1669:.
1659:.
1221::=
1018:0.
3088:.
3063:.
3028:.
2997:.
2977::
2961:9
2939:.
2919::
2913:8
2881:.
2861::
2836:.
2822::
2814::
2781:.
2769::
2731:.
2727::
2653:.
2630:.
2624::
2555:0
2549:)
2544:n
2540:a
2536:,
2530:,
2525:1
2521:a
2517:(
2514:f
2492:n
2488:A
2479:n
2475:a
2471:,
2465:,
2460:1
2456:A
2447:1
2443:a
2422:n
2419:,
2413:,
2410:1
2407:=
2404:i
2382:i
2378:k
2370:|
2364:i
2360:A
2355:|
2334:F
2312:n
2308:A
2304:,
2298:,
2293:1
2289:A
2268:)
2263:n
2259:x
2255:,
2249:,
2244:1
2240:x
2236:(
2233:f
2207:n
2203:k
2199:+
2193:+
2188:1
2184:k
2163:)
2158:n
2154:x
2150:,
2144:,
2139:1
2135:x
2131:(
2128:f
2104:n
2100:k
2094:n
2090:x
2079:1
2075:k
2069:1
2065:x
2037:F
2017:)
2012:n
2008:x
2004:,
1998:,
1993:1
1989:x
1985:(
1982:f
1944:F
1940:F
1938:(
1936:p
1932:p
1925:F
1921:p
1917:F
1915:(
1913:p
1909:F
1905:A
1888:,
1885:}
1882:1
1879:+
1874:2
1870:n
1862:|
1858:A
1854:|
1850:n
1844:,
1841:)
1838:F
1835:(
1832:p
1829:{
1819:|
1815:A
1806:n
1801:|
1787:Z
1784:p
1782:/
1780:Z
1776:A
1772:p
1758:}
1755:3
1748:|
1744:A
1740:|
1736:2
1732:,
1729:p
1726:{
1716:|
1712:A
1703:2
1698:|
1657:S
1642:Z
1638:p
1634:/
1629:Z
1607:Z
1603:p
1599:/
1594:Z
1583:p
1579:S
1572:n
1568:n
1564:n
1549:Z
1545:n
1541:/
1536:Z
1525:n
1504:1
1484:G
1464:)
1461:G
1458:(
1455:p
1432:}
1429:1
1422:|
1418:B
1414:|
1410:+
1406:|
1402:A
1398:|
1393:,
1390:)
1387:G
1384:(
1381:p
1378:{
1368:|
1364:B
1361:+
1358:A
1354:|
1330:G
1310:B
1307:,
1304:A
1276:}
1273:B
1267:b
1264:,
1261:A
1255:a
1248:)
1245:p
1238:(
1233:b
1230:+
1227:a
1224:{
1218:B
1215:+
1212:A
1189:}
1186:1
1179:|
1175:B
1171:|
1167:+
1163:|
1159:A
1155:|
1150:,
1147:p
1144:{
1134:|
1130:B
1127:+
1124:A
1120:|
1092:Z
1088:p
1084:/
1079:Z
1062:B
1058:A
1054:p
1012:)
1007:n
1003:a
999:,
993:,
988:1
984:a
980:(
977:P
955:n
951:A
942:n
938:a
934:,
928:,
923:1
919:A
910:1
906:a
895:S
879:.
876:A
873:=
868:n
864:A
860:=
854:=
849:1
845:A
824:A
815:n
792:n
788:A
773:1
769:A
758:S
742:,
739:)
734:i
730:x
721:j
717:x
713:(
708:n
702:j
696:i
690:1
682:=
679:)
674:n
670:x
666:,
660:,
655:1
651:x
647:(
644:P
619:.
616:A
613:=
608:n
604:A
600:=
594:=
589:1
585:A
564:A
561:n
539:n
535:A
531:+
525:+
520:1
516:A
492:S
470:n
466:x
462:,
456:,
451:1
447:x
426:1
423:=
420:)
415:n
411:x
407:,
401:,
396:1
392:x
388:(
385:P
365:P
352:F
334:)
329:n
325:x
321:,
315:,
310:1
306:x
302:(
299:P
289:F
263:n
259:A
255:,
249:,
244:1
240:A
216:,
213:}
210:0
204:)
199:n
195:a
191:,
185:,
180:1
176:a
172:(
169:P
162:d
159:n
156:a
147:n
143:A
134:n
130:a
126:,
120:,
115:1
111:A
102:1
98:a
91::
86:n
82:a
78:+
72:+
67:1
63:a
59:{
56:=
53:S
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.