5765:
3286:
4222:
1492:
2335:
2696:
3081:
5502:
2059:
6406:
3100:
3972:
550:
1179:
1704:
1168:
216:
4457:
6271:
2104:
4664:
3509:
385:
5007:
5451:
2559:
5298:
3721:
5760:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(y)={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}~e^{i{\frac {\cot(\alpha )}{2}}y^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\left(\csc(\alpha )~yx-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x~.}
2826:
680:
4840:
1941:
6280:
3281:{\displaystyle N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=H-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right)~}
6146:
4217:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.}
827:
1487:{\displaystyle {\sum _{n\geq 0}{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)={1 \over {\sqrt {(1-\rho ^{2})}}}\exp \left({4xy\rho -(1+\rho ^{2})(x^{2}+y^{2}) \over 2(1-\rho ^{2})}\right)}~.}
443:
1919:
1519:
939:
954:
49:
4287:
5139:
6153:
2330:{\displaystyle \langle x\mid \exp(-itH)\mid y\rangle \equiv K_{H}(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left((x^{2}+y^{2})\cos t-2xy\right)\right),\quad t<\pi ,}
2818:
4503:
3297:
2427:
238:
5887:
1790:
4851:
5848:
5329:
3900:
3767:
2761:
3872:
2691:{\displaystyle \exp \left(i\theta _{\rm {Maslov}}\right)=\exp \left(-i{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {1}{2}}+\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}\right\rfloor \right)\right).}
2455:
3801:
2734:
2520:
3076:{\displaystyle \varphi (x,t=\pi /2)=\int K_{H}(x,y;\pi /2)\varphi (y,0)dy={\frac {1}{\sqrt {2\pi i}}}\int \exp(-ixy)\varphi (y,0)dy=\exp(-i\pi /4){\mathcal {F}}(x)~,}
2484:
5158:
3567:
3539:
2547:
2096:
3833:
3559:
569:
2054:{\displaystyle i{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}\right)\varphi \equiv H\varphi ,}
6401:{\displaystyle {\mathbf {M} }^{\text{T}}~{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~{\mathbf {M} }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~.}
4690:
6762:
6777:
5928:
3804:
6077:
695:
545:{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}-x^{2}\varphi \equiv D_{x}\varphi ~.}
407:
2065:
6746:
4268:
1699:{\displaystyle K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sinh(2t)}}}~\exp \left(-\coth(2t)~(x^{2}+y^{2})/2+\operatorname {csch} (2t)~xy\right).}
6588:
Slepian, David (1972), "On the symmetrized
Kronecker power of a matrix and extensions of Mehler's formula for Hermite polynomials",
1163:{\displaystyle K(x,y;t)\equiv \sum _{n\geq 0}{\frac {e^{-(2n+1)t}}{{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}~H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)~.}
211:{\displaystyle E(x,y)={\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{(1-\rho ^{2})}}\right)~,}
4452:{\displaystyle p(x,y)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)~,}
849:
6266:{\displaystyle {\mathbf {M} }\equiv \operatorname {csch} (2t){\begin{pmatrix}\cosh(2t)&-1\\-1&\cosh(2t)\end{pmatrix}}~,}
3727:
3091:
5048:
1801:
2766:
4659:{\displaystyle p(x,y)=p(x)p(y)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.}
3504:{\displaystyle \langle x\mid \exp(-itN)\mid y\rangle \equiv K_{N}(x,y;t)=\exp(it/2)K_{H}(x,y;t)=\exp(it/2)K(x,y;it/2)}
6718:
Louck, J. D. (1981). "Extension of the Kibble-Slepian formula for
Hermite polynomials using boson operator methods".
380:{\displaystyle E(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}~{\mathit {H}}_{n}(x){\mathit {H}}_{n}(y)~.}
6767:
5969:"Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung"
6712:
6048:
5948:
2343:
6694:
5861:
2550:
6772:
3808:
3731:
1727:
5002:{\displaystyle \exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})/2)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}(u_{1}u_{2})^{n}~.}
5320:
5024:
3836:
560:
5943:
1932:
411:
25:
5822:
390:
This result is useful, in modified form, in quantum physics, probability theory, and harmonic analysis.
5446:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }=\sum _{n\geq 0}(-i)^{2\alpha n/\pi }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.}
3910:
The result of Mehler can also be linked to probability. For this, the variables should be rescaled as
3812:
6630:
Hörmander, Lars (1995). "Symplectic classification of quadratic forms, and general Mehler formulas".
5039:
3881:
3875:
3748:
2742:
6686:(1937). "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations",
3841:
832:
The general solution is then a linear combination of these; when fitted to the initial condition
36:
2434:
5293:{\displaystyle {\mathcal {F}}(y)=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.}
3772:
3716:{\displaystyle \varphi (x,t=\pi /2)=\int K_{N}(x,y;\pi /2)\varphi (y,0)dy={\mathcal {F}}(x)~,}
2705:
2489:
5968:
2460:
6617:
6567:
6547:
6507:
6428:
5812:
5794:
3517:
2525:
2074:
419:
399:
5988:
675:{\displaystyle \psi _{n}={\frac {H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}},}
8:
5938:
5790:
403:
222:
6551:
6511:
6432:
4669:
This expansion is most easily derived by using the two-dimensional
Fourier transform of
6647:
6571:
6497:
6444:
6064:
in its exponent, up to a factor of â1/2, involves the simplest (unimodular, symmetric)
5770:
The square root is defined such that the argument of the result lies in the interval .
3818:
3544:
6538:
Kibble, W. F. (1945), "An extension of a theorem of Mehler's on
Hermite polynomials",
6731:
6708:
6651:
6605:
6575:
6448:
6065:
6044:
6010:
5984:
5976:
5459:
5149:
5145:
3743:
3087:
2737:
6738:
H. M. Srivastava and J. P. Singhal (1972). "Some extensions of the Mehler formula",
6483:
6002:
6727:
6639:
6597:
6555:
6515:
6436:
5012:
The
Inverse Fourier transform then immediately yields the above expansion formula.
6472:
4835:{\displaystyle c(iu_{1},iu_{2})=\exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\rho u_{1}u_{2})/2)~.}
6613:
6563:
1721:
coincide, resulting in the limiting formula necessary by the initial condition,
6664:
6061:
6036:
6006:
5312:
6559:
6756:
6683:
6609:
5980:
5316:
6469:
6419:
Horvathy, Peter (1979). "Extended
Feynman Formula for Harmonic Oscillator".
1924:
This is further related to the symplectic rotation structure of the kernel
6024:
5929:
Oscillator representation § Harmonic oscillator and
Hermite functions
5933:
5304:
6520:
6485:
6141:{\displaystyle (x,y){\mathbf {M} }{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}~,~}
221:
and showed, in modernized notation, that it can be expanded in terms of
6643:
6440:
3807:, while the corresponding passive transform is already embedded in the
2069:
822:{\displaystyle \varphi _{n}(x,t)=e^{-(2n+1)t}~H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)~.}
21:
5782:
6601:
6502:
5786:
4497:
There follows the usually quoted form of the result (Kibble 1945)
6484:
Celeghini, Enrico; Gadella, Manuel; del Olmo, Mariano A. (2021).
6001:
6020:
3944:, so as to change from the 'physicist's' Hermite polynomials
934:{\displaystyle \varphi (x,t)=\int K(x,y;t)\varphi (y,0)dy~,}
6667:, N (1929), "Hermitian Polynomials and Fourier Analysis",
5474:, it reduces to the standard Fourier transform, and for
5015:
This result can be extended to the multidimensional case.
6703:
Nicole
Berline, Ezra Getzler, and MichĂšle Vergne (2013).
4630:
4604:
4188:
4162:
1931:
When using the usual physics conventions of defining the
5458:
continuous family of linear transforms generalizing the
5134:{\displaystyle {\mathcal {F}}(y)=(-i)^{n}\psi _{n}(y)~,}
3090:
is thus obtained from the quantum harmonic oscillator's
3514:
also compensates for the phase factor still arising in
6358:
6306:
6190:
6108:
1914:{\displaystyle \int dyK(x,y;t)K(y,z;t')=K(x,z;t+t')~.}
6283:
6156:
6080:
6041:
Wave
Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics
5864:
5825:
5505:
5332:
5161:
5051:
4854:
4693:
4506:
4290:
3975:
3884:
3844:
3821:
3775:
3751:
3570:
3547:
3520:
3300:
3103:
2829:
2769:
2745:
2708:
2562:
2528:
2492:
2463:
2437:
2346:
2107:
2077:
1944:
1804:
1730:
1522:
1182:
957:
852:
698:
572:
446:
241:
52:
6707:, (Springer: Grundlehren Text Editions) Paperback
2813:{\displaystyle \varphi _{0}(y)\equiv \varphi (y,0)}
1795:As a fundamental solution, the kernel is additive,
6400:
6265:
6140:
5881:
5842:
5759:
5445:
5292:
5133:
5001:
4834:
4658:
4451:
4216:
3894:
3866:
3827:
3795:
3761:
3715:
3553:
3533:
3503:
3280:
3075:
2812:
2755:
2728:
2690:
2541:
2514:
2478:
2449:
2421:
2329:
2090:
2053:
1913:
1784:
1698:
1486:
1162:
933:
821:
674:
544:
379:
210:
3735:
2486:in the inverse square-root should be replaced by
6754:
3730:can be interpreted via the Mehler kernel as the
6629:
6418:
5973:Journal fĂŒr die Reine und Angewandte Mathematik
5949:Laguerre polynomials § HardyâHille formula
5018:
4485:are the corresponding probability densities of
555:The orthonormal eigenfunctions of the operator
6464:Integral Transforms in Science and Engineering
5992:(cf. p 174, eqn (18) & p 173, eqn (13) )
20:is a complex-valued function found to be the
6717:
6421:International Journal of Theoretical Physics
3340:
3301:
2736:the general solution is proportional to the
2147:
2108:
1497:On substituting this in the expression for
3952:)) to "probabilist's" Hermite polynomials
6519:
6501:
5742:
5303:Thus, the continuous generalization for
5152:, they diagonalize the Fourier operator,
2422:{\displaystyle K_{H}(x,y;t)=K(x,y;it/2).}
6763:Parabolic partial differential equations
6533:
6531:
6015:Higher transcendental functions. Vol. II
5882:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}
1173:Utilizing Mehler's formula then yields
6587:
6275:so it preserves the symplectic metric,
5040:eigenfunctions of the Fourier transform
4281:having zero means and unit variances:
1785:{\displaystyle K(x,y;0)=\delta (x-y)~.}
6755:
6537:
6486:"Hermite Functions and Fourier Series"
5966:
4269:bivariate Gaussian probability density
3905:
3803:, with the Mehler kernel providing an
2068:, then the Mehler kernel becomes the
40:
6778:Multivariate continuous distributions
6590:SIAM Journal on Mathematical Analysis
6528:
689:-1), furnishing particular solutions
6461:
2549:should be multiplied by an extra
31:
13:
6669:Journal of Mathematics and Physics
5868:
5843:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}}
5829:
5744:
5641:
5636:
5509:
5485:to the inverse Fourier transform.
5336:
5164:
5054:
4933:
4627:
4601:
4568:
4185:
4159:
4126:
3887:
3754:
3677:
3235:
3225:
3168:
3164:
3137:
3133:
3037:
2748:
2598:
2595:
2592:
2589:
2586:
2583:
2002:
1992:
1959:
1951:
843:, the general solution reduces to
685:with corresponding eigenvalues (-2
488:
474:
458:
450:
393:
351:
328:
279:
228:(.) based on weight function exp(â
14:
6789:
948:has the separable representation
6705:Heat Kernels and Dirac Operators
6345:
6287:
6159:
6098:
2066:natural length and energy scales
1513:, Mehler's kernel finally reads
6720:Advances in Applied Mathematics
6677:
6658:
6623:
6043:(Dover Books on Physics, 2000)
3958:(.) (with weight function exp(â
3948:(.) (with weight function exp(â
2314:
6581:
6477:
6455:
6412:
6246:
6237:
6208:
6199:
6182:
6173:
6093:
6081:
6054:
6030:
5995:
5960:
5739:
5733:
5704:
5698:
5674:
5668:
5607:
5601:
5566:
5560:
5535:
5529:
5526:
5520:
5434:
5428:
5415:
5409:
5376:
5366:
5281:
5275:
5262:
5256:
5237:
5227:
5208:
5202:
5184:
5178:
5175:
5169:
5122:
5116:
5097:
5087:
5081:
5075:
5072:
5059:
4984:
4960:
4914:
4903:
4867:
4861:
4823:
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4747:
4741:
4729:
4697:
4647:
4641:
4621:
4615:
4549:
4543:
4537:
4531:
4522:
4510:
4432:
4413:
4390:
4364:
4306:
4294:
4205:
4199:
4179:
4173:
4096:
4077:
4054:
4028:
3895:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
3861:
3855:
3762:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
3704:
3698:
3695:
3682:
3663:
3651:
3645:
3619:
3600:
3574:
3498:
3469:
3463:
3446:
3434:
3416:
3403:
3386:
3374:
3356:
3331:
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3064:
3058:
3055:
3042:
3032:
3012:
2994:
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2961:
2922:
2910:
2904:
2878:
2859:
2833:
2807:
2795:
2786:
2780:
2756:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
2508:
2494:
2413:
2384:
2375:
2357:
2277:
2251:
2181:
2163:
2138:
2123:
1902:
1873:
1864:
1841:
1835:
1817:
1773:
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1752:
1734:
1676:
1667:
1647:
1621:
1615:
1606:
1577:
1568:
1544:
1526:
1467:
1448:
1440:
1414:
1411:
1392:
1357:
1338:
1325:
1314:
1288:
1282:
1273:
1267:
1254:
1248:
1218:
1203:
1151:
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1114:
1108:
1099:
1093:
1080:
1074:
1026:
1011:
979:
961:
916:
904:
898:
880:
868:
856:
810:
786:
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771:
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735:
721:
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614:
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599:
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257:
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191:
172:
152:
126:
68:
56:
1:
5954:
3736:fractional Fourier transforms
422:---the most general solution
6732:10.1016/0196-8858(81)90005-1
6540:Proc. Cambridge Philos. Soc.
5944:Parabolic cylinder functions
5915:an even or odd multiple of
5789:functions diverge. In the
5321:fractional Fourier transform
5025:Fractional Fourier transform
5019:Fractional Fourier transform
3867:{\displaystyle \psi _{n}(x)}
3291:since the resulting kernel
7:
5975:(in German) (66): 161â176,
5922:
5496:), thus directly provides
4227:The left-hand side here is
1933:quantum harmonic oscillator
412:quantum harmonic oscillator
410:of the Hamiltonian for the
26:quantum harmonic oscillator
10:
6794:
6688:Proc. Natl. Acad. Sci. USA
5777:is an integer multiple of
5022:
3742:, and of the conventional
2763:of the initial conditions
6632:Mathematische Zeitschrift
6560:10.1017/S0305004100022313
5488:The Mehler formula, for
3874:which are therefore also
3769:for the particular value
2450:{\displaystyle t>\pi }
6009:; Oberhettinger, Fritz;
5311:can be readily defined (
5029:Since Hermite functions
4845:This may be expanded as
3815:. The eigenfunctions of
3796:{\displaystyle t=\pi /2}
3738:for arbitrary values of
2729:{\displaystyle t=\pi /2}
2515:{\displaystyle |\sin t|}
6051: ; See section 44.
5793:, the kernel goes to a
4493:(both standard normal).
4271:function for variables
2479:{\displaystyle i\sin t}
6768:Orthogonal polynomials
6740:Proc. Amer. Math. Soc.
6474:); see section 7.5.10.
6462:Wolf, Kurt B. (1979),
6402:
6267:
6142:
5967:Mehler, F. G. (1866),
5883:
5844:
5819:, respectively. Since
5761:
5447:
5294:
5135:
5003:
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3535:
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212:
6403:
6268:
6143:
6011:Tricomi, Francesco G.
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5845:
5762:
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5295:
5136:
5004:
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3897:
3869:
3830:
3798:
3764:
3726:which shows that the
3718:
3556:
3536:
3534:{\displaystyle K_{H}}
3506:
3283:
3078:
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2091:{\displaystyle K_{H}}
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547:
382:
263:
213:
43:) defined a function
6773:Mathematical physics
6281:
6154:
6078:
5862:
5823:
5795:Dirac delta function
5503:
5330:
5323:(FrFT), with kernel
5159:
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400:fundamental solution
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5939:Hermite polynomials
5645:
4902:
4884:
4782:
4764:
3906:Probability version
418:. It provides the
223:Hermite polynomials
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6441:10.1007/BF00671761
6398:
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6251:
6138:
6123:
5879:
5840:
5797:in the integrand,
5781:, then the above
5757:
5628:
5463:, such that, for
5443:
5365:
5290:
5226:
5131:
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5146:harmonic analysis
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3998:
3837:Hermite functions
3828:{\displaystyle N}
3811:from position to
3744:Fourier transform
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944:where the kernel
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666:
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561:Hermite functions
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